DESIGUALDADES

DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE

La expresión a ≠ b significa que " a " no es igual a " b ".

Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando
la diferencia a − b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a − b es
negativa.

La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no
ambos. Por su parte, la notación a ≤ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que
a = b pero no ambos.

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno
de los símbolos >,<,≥ o ≤.

Ejemplos de desigualdades:
1) 4 > 3
2) a < 10
3) b ≥ 5
4) 12x ≤

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo
mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el
segundo miembro.

De la definición de desigualdad, se deduce que:

• Todo número positivo es mayor que cero
• Todo número negativo es menor que cero
• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto
• Si a > b entonces b < a .

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer
miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el
miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

• Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales
que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x2


• Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por
ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite
de x .

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.
Sean b,a ∈R y a ≠ 0 , una desigualdad de primer grado en una variable x

Propiedades de las desigualdades:

Sean c,b,a tres números reales.

I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

Esto es, si a > b , entonces se cumple que a + c > b + c .

Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2 ,
ya que: 9 > 5

2) Si a la desigualdad 16 > 8 se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16 − 5 > 8 − 5 ,
ya que: 11 > 3
Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad,
teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede
pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una
misma cantidad a los dos miembros.

Ejemplo.
8x − 4 > 3x − 9
8x − 3x > −9 + 4

II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor
positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.

Esto es, dado un número c > 0 , si a > b entonces se cumple que a ⋅ c > b ⋅ c y que a/c > b/c

Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5⋅3 > 2 ⋅3 ,
ya que 15 > 6

2) Si a la desigualdad 36 > 28 se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que
428436> , ya que 9 > 7

III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor
negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.

Esto es, dado un número c < 0 , si a > b entonces se cumple que a ⋅ c < b ⋅ c y que a/c < b/c

Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por − 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que
6(− 4) < 3(− 4), ya que − 24 < −12

2) Si a la desigualdad 16 >10 se divide por − 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16/-2 > 10/-2
, ya que − 8 < −5
Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal
que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo.
− 6x +18 < 2 − 4x
6x −18 > −2 + 4x


INECUACIONES ENTERAS

Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que
sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El
procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las
propiedades de las desigualdades.

Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de un
miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen a
la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, para
despejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera
propiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente.

Ejemplos.
Resolver las siguientes inecuaciones enteras:

1) 4x + 6 > 2x − 8
Solución.
Se transponen términos:
4x − 2x > −8 − 6
se reducen los términos semejantes:
2x > −14
dividiendo por 2 :
x>-14/2⇒ x> −7
2) 13x − 3x + 2 − 5x ≥ −10 + 2x + 6
Solución.
Se transponen términos:
13x − 3x − 5x − 2x ≥ −10 + 6 − 2
se reducen los términos semejantes:
3x ≥ −6
dividiendo por 3 :
x ≥ -2 ⇒ x≥ −6/3

3) 5x + 6 − 3x > 34 + 8x −10
Solución.
Se transponen términos:
5x − 3x − 8x > 34 −10 − 6
se reducen los términos semejantes:
− 6x > 18
dividiendo por − 6 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
x < 18/−6 ⇒ < −3

4) 3x − 2 − 5x −10x − 6 > 13 − 8x + 4 + 23 + 4x
Solución.
Se transponen términos:
3x − 5x −10x + 8x − 4x > 13 + 4 + 23 + 2 + 6
se reducen los términos semejantes:
− 8x > 48
dividiendo por − 8 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
x < 48/-8 ⇒ < −6

5) 5(2x −3)+1+ 4(3x −5) ≤ 3(x +10)+ 4(2x + 8)+ x
Solución.
Eliminando paréntesis:
10x −15 +1+12x − 20 ≤ 3x + 30 + 8x + 32 + x
Se transponen términos:
10x +12x − 3x − 8x − x ≤ 30 + 32 +15 −1+ 20
se reducen los términos semejantes:
10x ≤ 96
dividiendo por 10 :
x ≤ 96/10 ⇒ x ≤ 48/5

Una inecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de la
incógnita, las cuales deben considerarse como valores constantes.

Para resolver inecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en los ejemplos
anteriores. La variante es que cuando se tengan todos los términos que contengan a la incógnita en el
primer miembro de la inecuación, se factoriza para poder despejarla.

6) 2ax − 3b(x − 4)− 6abx > 5(x + a)− ab
Eliminando paréntesis:
2ax − 3bx +12b − 6abx > 5x + 5a − ab
Se transponen términos:
2ax − 3bx − 6abx − 5x > 5a − ab −12b
factorizando x :
x(2a − 3b − 6ab − 5) > 5a − ab −12b
si (2a − 3b − 6ab − 5) > 0





INECUACIONES FRACCIONARIAS

Para resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican sus dos miembros por el
mínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en
una inecuación entera. Cuando el denominador contiene la incógnita, tiene que analizarse cuando es
tanto positiva como negativa. Para ambos casos debe obtenerse la respectiva intersección de las
restricciones. La solución de la inecuación, es la unión de los dos intervalos obtenidos.



GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad. Gráficamente, la
solución de una inecuación de primer grado está representada por un intervalo del eje de las abscisas a partir de
un valor límite a . Si la solución es de la forma x > a , entonces la región será todos los números que estén a la
derecha de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma x ≥ a , la región incluye al valor a . De la misma forma,
si la solución es de la forma x < a , entonces la región será todos los números que estén a la izquierda de a sin
incluirlo. Si la solución es de la forma x ≤ a , la región incluye al valor a . Dependiendo del tipo de desigualdad
el conjunto solución puede ser uno o dos intervalos, la totalidad de los números reales o el conjunto vacío.



DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:


ax2 + bx + c >  0 o ax2 + bx + c ≥ 0 o ax2 + bx + c < 0 o ax2 + bx + c ≤ 0

donde ,a b y c son números reales y a ≠ 0 . Su solución generalmente representa un intervalo o la
unión de dos intervalos de números reales.

Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número de prueba.

Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0